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Background information on filtering — MNE 1.12.0 documentation
提示

该部分将会深入探讨滤波器的数学原理和设计方法，以进一步选择滤波器。

如果仅仅是想要直到如何在MNE-Python中使用默认滤波器的话，请移步至Filtering and resampling data — MNE 1.12.0 documentation

关于数字滤波器的实际应用可以参考Parks & Burrus (1987) [1] 和Ifeachor & Jervis (2002) [2]

关于在M/EEG上的使用可以参考Widmann et al. (2015) [3]

问题描述

对电生理信号滤波会产生的实际问题可参考Widmann et al. (2012) [4] ，其中推导出下面的陈述。

VanRullen (2011) [5] 表明滤波会导致信号时序（和幅度）的失真，因此，滤波不应该被随意使用。然而，若能谨慎考虑滤波效果并尽可能减小滤波伪迹，就可以对滤波后电生理信号的时间动态特征做出可靠解读；同时，滤波还能检测到不进行滤波就会遗漏的信号。

换句话说，滤波可以提高信噪比（SNR），但是如果不审慎使用的话，会使数据失真。希望能介绍一些滤波基础使读者更好地理解滤波中的权衡和MNE-Python选择特定默认参数的原因。

滤波基础

在频域，数字滤波器有如下的转移函数：

$$\begin{align*} H(z) &= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \dots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \dots + a_N z^{-N}} \\ &= \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}} \end{align*}$$

在时域，$y(n)$可以由$x(n)$和$y(n-1),\cdots$组成

$$\begin{align*} y(n) &= b_0 x(n) + \dots + b_M x(n-M) - a_1 y(n-1) - \dots - a_N y(n-N) \\ &= \sum_{k=0}^{M} b_k x(n-k) - \sum_{k=1}^{N} a_k y(n-k) \end{align*}$$

在该差分方程中，$y(n)$由两部分组成：

  1. 滑动平均部分（moving average, MA）：输入部分，$\sum_{k=0}^{M} b_k x(n-k) $
  2. 自回归部分（autoregression，AR）：过往的输出，$\sum_{k=1}^{N} a_k y(n-k)$

可视为ARMA模型。

根据这些系数（$b_k, a_k$），滤波器可以分为两大类：FIR滤波器（有限冲激响应）和IIR滤波器（无限冲激响应）。FIR滤波器使用有限的分子系数$b_k(a_k=0,\forall k)$，因此$y(n)$只依赖于前$M$个输入值；IIR滤波器依赖于之前的输入和输出，因此其单位冲激响应在理论上是无限长的。

在Parks & Burrus (1987) [1] 中列出了FIR和IIR的优缺点;

  1. 一个因果（causal）FIR滤波器是线性相位的。即，所有频率上的信号有相同的时延，这是因果IIR滤波器做不到的。FIR 滤波器的相位特性与群延迟特性通常也更优。
  2. 同阶IIR滤波器通常比FIR更陡峭
  3. IIR 滤波器通常数值稳定性更差，部分原因是递归计算会导致误差不断累积。

在MNE-Python中，默认使用FIR滤波，正如在Widmann et al. (2015) [3] 指出的：

尽管 IIR 滤波器通常被认为计算效率更高，但仅在需要高吞吐量和陡峭截止特性时才推荐使用（Ifeachor and Jervis, 2002 [2] , p. 321）。

FIR 滤波器更易于控制，始终稳定，具有明确的通带，无需额外计算即可校正为零相位，并且可以转换为最小相位。

因此，在电生理数据分析的大多数应用中，我们推荐使用 FIR 滤波器。

当设计一个滤波器时（FIR或IIR），总是要考虑一些权衡，包括但不限于：

  1. 通带纹波（Ripple in the pass-band）：通带内幅度响应的起伏大小
  2. 阻带衰减（Attenuation of the stop-band）
  3. 衰减陡峭度（Steepness of roll-off）
  4. 滤波器阶数，即FIR滤波器长度
  5. 时域振铃（Time-domain ringing）：信号经过滤波器后，在阶跃、脉冲边缘出现不该有的上下震荡拖尾

具体参数解释参考陈后金《数字信号处理（第三版）》P124。

总之，频域越窄，时域就越宽，反之亦然。这是一个基本的时频权衡关系，在下文内容中会有所体现。

参考文献

[1] (1,2) Thomas W. Parks and C. Sidney S. Burrus. Digital Filter Design. Topics in Digital Signal Processing. Wiley, New York, 1987. ISBN 978-0-471-82896-9.
[2] (1,2) Emmanuel C. Ifeachor and Barrie W. Jervis. Digital Signal Processing: A Practical Approach. Pearson, 2 edition, 2002.
[3] (1,2) Andreas Widmann, Erich Schröger, and Burkhard Maess. Digital filter design for electrophysiological data – a practical approach. Journal of Neuroscience Methods, 250:34–46, 2015. doi:10.1016/j.jneumeth.2014.08.002.
[4] (1) Andreas Widmann and Erich Schröger. Filter effects and filter artifacts in the analysis of electrophysiological data. Frontiers in Psychology, 2012. doi:10.3389/fpsyg.2012.00233.
[5] (1) Rufin VanRullen. Four common conceptual fallacies in mapping the time course of recognition. Frontiers in Psychology, 2011. doi:10.3389/fpsyg.2011.00365.
[6] Guillaume A. Rousselet. Does filtering preclude us from studying ERP time-courses? Frontiers in Psychology, 2012. doi:10.3389/fpsyg.2012.00131.
[7] David J. Acunzo, Graham MacKenzie, and Mark C.W. van Rossum. Systematic biases in early ERP and ERF components as a result of high-pass filtering. Journal of Neuroscience Methods, 209(1):212–218, 2012. doi:10.1016/j.jneumeth.2012.06.011.
[8] Darren Tanner, Kara Morgan-Short, and Steven J. Luck. How inappropriate high-pass filters can produce artifactual effects and incorrect conclusions in ERP studies of language and cognition: high-pass filtering and artifactual ERP effects. Psychophysiology, 52(8):997–1009, 2015. doi:10.1111/psyp.12437.
[9] Emily S. Kappenman and Steven J. Luck. The effects of electrode impedance on data quality and statistical significance in ERP recordings. Psychophysiology, 2010. doi:10.1111/j.1469-8986.2010.01009.x.
[10] Burkhard Maess, Erich Schröger, and Andreas Widmann. High-pass filters and baseline correction in M/EEG analysis. Commentary on: “How inappropriate high-pass filters can produce artefacts and incorrect conclusions in ERP studies of language and cognition”. Journal of Neuroscience Methods, 266:164–165, 2016. doi:10.1016/j.jneumeth.2015.12.003.
[11] Darren Tanner, James J.S. Norton, Kara Morgan-Short, and Steven J. Luck. On high-pass filter artifacts (they’re real) and baseline correction (it’s a good idea) in ERP/ERMF analysis. Journal of Neuroscience Methods, 266:166–170, 2016. doi:10.1016/j.jneumeth.2016.01.002.
[12] Burkhard Maess, Erich Schröger, and Andreas Widmann. High-pass filters and baseline correction in M/EEG analysis-continued discussion. Journal of Neuroscience Methods, 266:171–172, 2016. doi:10.1016/j.jneumeth.2016.01.016.

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